Es ist eher ein Beweis (erbracht) im Guten Glauben. Beide Versionen sind doppeldeutig, man kann guten Glauben beweisen oder man erbringt einen Beweis in Gutem Glauben. Gemeint ist hier das Letztere.

Also hier würde ich eher nicht so am "Guten Glauben" kleben.
Ich bin auch nicht sicher, ob "evidence" hier als Substantiv verwendet wird.

Aber unabhängig davon als Vorschlag:

In manchen Fällen müssen die Antragsteller eidesstattliche Versicherungen vorlegen und glaubhaft machen, dass die fragliche Person nicht auffindbar ist.

# 1 hat im Prinzip Recht. Eine vernünftige Übersetzung ins Deutsche erfordert aber eine etwas freiere Formulierung. Ich denke, man würde es auf Deutsch ungefähr so sagen wie oben vorgeschlagen.

Edit: # 2 war schneller ;-)