OK, mal vorneweg: Du bringst da ein paar Sachen durcheinander. Aber der Reihe nach.

e wird, wie du richtig bemerkst, am Wortanfang und nach Vokalen (!) wie [je] ausgesprochen.

e nach Konsonanten dagegen erweicht den vorherigen Buchstaben:
Als Beispiel мне [mnʲe] - das n wird hier also zu einem nʲ, einem sogenannten weichen oder palatalisierten n. Zur Erleichterung für Lerner wird oft empfohlen, ein i nach dem Konsonanten anzudeuten. Das ist zwar nicht ganz exakt, aber "close enough" - wichtig ist, dass kein j daraus wird!
So heißt es eben auch кремль [krʲemlʲ]. Das e ändert seine Qualität nicht, nur
r > rʲ, wie auch l > lʲ.

Um es noch ein bisschen komplizierter zu machen: Unbetontes (!) e wird immer wie ausgesprochen - daher меня [mʲinʲá], aber auch Алексей [alʲiksʲéj] - hör mal genauer hin. Dieses Phänomen nennt sich Ikanje.

Zur Ergänzung: Neben e und dem Weichheitszeichen gibt es noch drei andere "Weichmacher", nämlich и, ю (am Wortanfang und nach Vokalen [ju], sonst [u]) und я (am Wortanfang und nach Vokalen [ja], sonst [a]).
нижний [nʲížnʲij]
люблю [lʲublʲu]
пять [pʲatʲ]

Hoffe, das hilft dir weiter!

unbetontes e wird wie ausgesprochen, soll das heißen.
Warum ein Teil meiner Antwort kursiv ist, weiß ich auch nicht so genau...

OK, unbetontes e wird wie [ i ] ausgesprochen. Anscheinend löst i in eckigen Klammern hier Kursivierung aus.

Abgesehen davon, das so eine Frage in "Sprachlabor" gehört...

Zur Ergänzung von dem, was Kübelchen schon geschrieben hat. Die Sache ist noch eine Spur komplizierter (unten ist jedoch eine vereinfachte Darstellung).

Es gibt folgende Fälle:
1) Am Anfang des Wortes betont. Da wird e als [je] ausgesprochen. ель - [je]ль
2) Am Anfang des Wortes unbetont. ACHTUNG. Hier wird e als [jᵻ] (vereinfacht j+i) ausgesprochen und nicht als [je]. енот - [jᵻ]нот
3) Betont zwischen nicht-palatalisierten „harten“ Konsonanten als [ɛ] (э). ж[ɛ]ст, т[ɛ]ст.
4) Betont zwischen palatalisierten „weichen“ Konsonanten als [e]. песня - [pʲе]сня, лето - [lʲе]то. Dabei wie schon erwähnt kommt es zur Palatalisierung von Konsonanten.
5) Unbetont nach den „harten“ Konsonanten, ж, ш und ц als [ᵻ] (etwa wie ы). цена - ц[ᵻ]на, жена - ж[ᵻ]на
6) Unbetont nach den „weichen“ Konsonanten als [ɪ]. меня - м[ɪ]ня.

AndreyO hat natürlich recht - ich habe das Ganze absichtlich etwas vereinfacht dargestellt, da es auch so schon kompliziert genug ist ;)

Erst einmal vielen Dank für die Antworten.

Tut mir leid, dass ich ins falsche Unterforum gepostet hatte, wusste nicht, dass es in das Sprachlabor gehört.

Mh, also die Tipps waren hilfreich, aber leider bringt es mir nicht so viel. Ich habe es scheinbar einfach nicht verstanden. Ich lerne viele neue Wörter und ich weiß irgendwie nie, wann das e wie ausgesprochen werden soll. Wenn ich mir dann die Wörter online anhöre, dann stelle ich oft fest, dass ich falsch lag. Ich kann kein System dahinter erkennen, meiner Meinung nach gibt es das nicht wirklich, weil auch mit den Regeln die hier genannt wurden funktioniert es nicht wirklich! Manchmal sprechen die Russen das e im Wort wie je aus, manchmal wie ein reines i, manchmal i mit was von dem Buchstaben danach oder davor reingezogen, aber es gibt halt kein System. Das ist sehr frustrierend.

Noch eine Frage, was genau heißt denn jetzt "palatalisiert"? Was heißt Palatisierung von Konsonanten? Kann das jemand mal so erklären, dass ich es verstehen kann?

Tschuldigung für den dritten Post hier in einer Reihe, aber:

" Алексей [alʲiksʲéj] - hör mal genauer hin".

Stimmt so einfach nicht. Wie ich bereits in meinem ersten Post sagte, sprechen die Russen hier knall hart [alekséj]. Ich habe auch genau hingehört.

Es gibt schon ein System und Regeln, wie oben beschreiben.

Das einfachste Faustregel-Schema, ohne Berücksichtigung der Ausnahmen:
e als [je] gibt es wirklich nur (!) am Wortanfang und vor Vokalen, unbetontes e wird [ i ], alle anderen Fälle [e].

Алексей wird gesprochen Ал[и]ксей, tut mir leid, das ist einfach so, alles andere wäre falsches Russisch ;)
Das richtig zu hören ist allerdings auch eine Übungs- und eine Typsache - sprachungeschulte Russen z.B. hören oft bei leben und lieben keinen Unterschied, egal wie exakt e und i artikuliert wird.

Ein palatalisierter Konsonant ist ein "weich" ausgesprochener Konsonant - rein technisch wird er erzeugt, indem bei der Artikulation die Zunge in Richtung Gaumen leicht gehoben wird, und lautlich hört sich das ein bisschen so an, als hätte der Konsonant einen leichten i-Nachklang. In der phonetischen Schreibweise drückt man das mit einem hochgestellten j aus (auch wenn der Laut kein Jot, sondern eben wenn überhaupt eher ein i ist).
Entsprechend gibt es im Russischen von (fast) jedem "normalen" oder harten Konsonanten auch eine weiche Variante - vgl. z.B. нос [nos] vs. нёс [nʲos], лук [luk] vs. люк [lʲuk] oder брат [brat] vs. брать [bratʲ].

Der Buchstabe e (im Gegensatz zu э) ist, wie gesagt, automatisch ein "Weichmacher" für den vorherigen Konsonanten. Ich vermute einfach mal, du hörst im Wort den palatalisierten Konsonanten, aber hältst das für ein j vor dem e?
Hier in einem Forumsthread ist so etwas schwer zu klären, da ist Sprachunterricht mit einem Lehrer besser geeignet :)

BertiH, du sollst nicht frustriert sein, das ist ein Lernprozess.

Zu Deinen Fragen:

1) Über Palatalisierung kannst Du hier genau nachlesen https://de.wikipedia.org/wiki/Palatalisierung. Es geht hier darum, dass viele Konsonanten im Russischen eine "harte" und eine "weiche" Ausprägung haben. In Österreich bedeutet hart und weich bei den Konsonanten etwas anderes, bitte nicht mit stimmhaft und stimmlos verwechseln. 15 Konsonanten im Russischen bilden hart-weiche Paare.

z.B. лук - люк (luk, ljuk), нос-нёс (nos, njos), мышка-мишка (mischka-mjischka), полка-полька (polka-poljka).
Palatalisiert werden die Konsonanten entweder durch ein Weichheitszeichen (im letzten Beispiel) oder durch die Konsonanten (я, ё, е, и, ю - ACHTUNG!! nicht immer :)

2) In Deutschland spricht man die Wörter auch nicht immer gleich aus. Im Russischen ist es auch so. z.B. im Wologda Gebiet sagt man "moloko" und nicht "malako", wie es sonnst üblich ist.
Es gibt schon die Regeln für "Hochrussisch", es gibt aber auch Abweichungen.

Streng genommen ("Hochrussisch") darf sich bei Алексей kein "i" anhören, sondern ein i mit dem e.(https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%95_(%D0%BA%... unbetont nach den „weichen“ Konsonanten in erster vortoniger Silbe :).