"jemanden treffen" generally means meeting s.o. (by chance): "Gestern auf der Party habe ich Fritz getroffen" - "Ich habe an der Supermarktkasse Susi getroffen". Sometimes it also means dating, but generally I wouldn't use it that way ("Ich glaube, Susi trifft einen anderen...")

"sich mit jemandem treffen" is always intentional, more like a date or a meeting, although it doesn't say anything about the relationship of those who meet. "Wir treffen uns morgen vor dem Kino".

"jemanden treffen" could be by accident, e.g. while shopping, on the street
"sich mit jemandem treffen" requires an agreement to meet.

This is difficult to say without more context.

Roughly:
"jemanden treffen" - you meet someone by chance, accidentally

"sic mit jemandem treffen" - you have an arranged appointment, a date, a meeting with someone

"sich mit jemandem treffen" würde ich so verstehen, dass man sich verabredet hat. Das kann aber auch ein Arbeitstreffen sein, muss nicht auf flirten hinauslaufen.

"jemanden treffen" kann man auch in diesem Zusammenhang benutzen, ist aber meist Zufall, dass man sich auf der Straße/im Bus... getroffen hat, ohne es vorher geplant zu haben.

Beide müssen auch nicht auf eine Einzelperson bezogen sein, man kann sich auch als Gruppe verabreden oder per Zufall treffen.

Na typisch, eine halbe Stunde nichts und dann 4 Antworten in 2 Minuten :)

So "jemanden treffen" is pretty much like "jemandem begegnen", I guess?

Ja, das kommt hin.
Allerdings kann man auch "sich selbst begegnen" oder "Gott begegnen", wenn man meditativ oder religiös ist. Dann bedeutet "begegnen" eher so etwas wie "erfahren"
In diesen Zusammenhängen ist "treffen" nicht möglich.

Bei einer Begegnung würde ich auch nicht unbedingt davon ausgehen, dass man Kontakt aufgenommen hat. Man kann auch jemandem begegnen, indem man ihn mit dem Auto überholt, treffen bedeutet für mich zumindest ein "Guten Tag" austauschen, nicht nur ein Winken.

@ wupper

KANN - muss aber nicht.
Es ist schwer zu erklären, ich kann es nicht begründen, aber gefühlsmäßig würde ich sagen:
Wenn ich "jemanden treffe", dann beziehe ich mich eher auf eine Person, die ich kenne, die ich aber zufällig treffen. Meist ist auch ein kurzer (oder längerer) Kontakt damit verbunden. Ich grüße sie z. B. ... oder rede ein paar Worte mit ihr.

Wenn ich "jemandem begegnen", dann ist viel mehr Zufall im Spiel, und ich kenne die Person auch nicht zwangsläufig. Es folgt auch nicht zwangsläufig ein Kontakt. Man geht halt aneinander vorbei.

"Beim Einkaufen traf ich(zufällig)Carol."
"Bei meinem Einkauf begegnete ich einem eigenartigen Mann."

Das kann man aber nicht generell sagen, diese beiden Begriffe sind auch gegeneinander austauschbar. Es hängt von der Situation ab.

Man könnte durchaus auch sagen:
"Beim Einkaufen begegnete ich Carol."

Allerdings würde ich eher nicht sagen "Bei meinem Einkauf traf ich einen eigenartigen Mann." (Es sei denn, ich rede nachher mit dem ... dann vielleicht ...)

Und dann ist treffen noch eines der im Vergleich zum Englischen seltenen Wörter, die sich für einen "Pun" eignen:
Treffen sich zwei Jäger. Beide tot!

SCNR

Jemanden treffen kann man auch mit Gegenständen (z.B. Wurfgeschossen). Nur so am Rande.

Antjee, wie gut, dass Du das Witzchen von #9 jetzt erklärt hast! ;-)

Außerdem wird begegnen auch noch in folgendem Kontext benutzt:

Dieses Wort ist mir zum ersten Mal in dem Buch von XY begegnet.