Hallo, Theresa! - Ich entdecke soeben Deine bisher unbeantwortete Frage und versuch mal, ein wenig zu helfen (und zu schieben):
'Beleg-' steht hier für '. . .-Betten', die ein Vertragspartner (ein Arzt, oder, wie hier, eine Hebamme) in einem Krankenhaus vertraglich reserviert hat und bei Bedarf mit seinem/ihrem Patienten 'belegt'.
(Ich kenne einen Augenarzt und einen Orthopäden, die in derselben Klinik 'Belegbetten' haben)
So, mal ganz allgemein würde ich sagen 'reserved beds'; die Geburt ist (natürlich) eine Entbindung im Krankenhaus, die Hebamme sehe ich als Vertragshebamme . . .

Hebamme = midwife
Vertragshebamme = contract midwife

I also found this definition in Merriam-Webster
nurse-midwife = a registered nurse with additional training as a midwife who delivers infants and provides antepartum and postpartum care.

Maybe this might help.

"Beleggeburt" ist nur für die Krankenhausverwaltung wegen der unterschiedlichen Verrechnung von Bedeutung, für alle anderen Beteiligten ist das eine Geburt wie jede andere.

Ein Vorschlag: "contractor's delivery"

The difference in systems means that there is no direct translation.

A "Beleghebamme" could be described as an "independent midwife using hospital facilites".
The "Belggeburt" would then be "delivery by an independent midwife using hospital facilities" which is a bit of a mouthful, but "contractor's delivery" sounds to me more like the arrival of a load of bricks than a baby :-)
HTH