Ich sehe wie die Vorredner eigentlich keinen inhaltlichen Unterschied - und stelle überrascht zweierlei fest:

1) dass (zumindest in den von Google gescannten Büchern) das Altenheim häufiger zu finden ist als das Altersheim. Meine Vermutung wäre, dass es eine gewisse Tendenz gibt, anstelle des alzu allzu schnöde empfundenen Standardbegriffs Altersheim zu milderen Benennungen zu greifen. und Altenheim möglicherweise als "milder" empfunden wurde. In diese Richtung gehen auch Begriffe wie Seniorenheim oder Seniorenresidenz (die sich in den Google-Ngrams nicht finden lassen).

2) Bei Wikipedia lese ich aber von einer jüngeren fachsprachlichen Differenzienung:

"Allgemeinsprachlich wird Altenheim als Bezeichnung des Oberbegriffs für jede Form der stationären Fremdversorgung im hohen Alter gebraucht. Fachsprachlich ist das Altenheim dagegen das mittlere Glied zwischen Altenwohnheim und Altenpflegeheim in einer nach dem Schweregrad der Hilfe- und Pflegebedürftigkeit der Bewohner differenzierenden Dreigliedrigkeit stationärer Altenpflegeeinrichtungen:

• Altenwohnheim – Der Bereich Wohnen hat hier das größte Gewicht – andere Leistungen werden nur in geringem Umfang angeboten.
• Altenheim – Hierbei besteht eine (noch) geringe Pflegebedürftigkeit, das selbstbestimmte Leben überwiegt. Dienstleistungen wie Säubern und Aufräumen im Zimmer, Speisenversorgung werden regelmäßig in Anspruch genommen. Die Bewohner führen keinen eigenen Haushalt.
• Altenpflegeheim – Die stationäre Pflege ausgeprägt pflegebedürftiger Menschen steht in diesen Einrichtungen rund um die Uhr im Vordergrund.

Die alternative und landläufig gängige Bezeichnung „Altersheim“ (mit „s“) wird als Fachterminus meist vermieden, weil das Heim für „die Alten“ betrieben wird.

https://de.wikipedia.org/wiki/Altenheim