Das Verb wird hier in der Bedeutung "eindringlich zu etw. ermahnen / etw. ans Herz legen" benutzt, so passt mMn. "bitte bitte!" genauso viel oder wenig wie "pass auf!" oder "nicht vergessen!": das ist mehr eine Erklärung nach dem Sinne als eine richtige Übersetzung.

Es gibt allerdings auch einen Unterschied zwischen "Bitte bitte" und "Mi raccomando": letzteres bezieht sich immer auf die Zukunft, ersteres auf die Gegenwart, zB.:
"Mi raccomando, chiudi la porta a chiave!" impliziert immer ein "wenn du alleine bist", "in der Nacht", "nachdem ich weg bin" während "Bitte, schliess die Tür ab" dich eher dazu auffordert, sofort aufzustehen und die Tur zuzumachen.

Zu den Quellen: Pauker.at gewinnt den Blumentopf, denn bei seinen Beispielen gerade die zu übersetzende Wendung mit Haut und Haaren von der Katze gefressen wurde:
Fatti sentire, mi raccomando! -> Lass was von dir hören!
Mi raccomando il comportamento! -> Benimm dich/Benehmt euch bitte ordentlich!
Mi raccomando, comportati bene! -> Bleib anständig!
Fatti vedere, mi raccomando! -> Lass dich blicken!  

Das Problem ist, dass auf Italienisch auch die selben Sätze ohne "mi raccomando" 100%ig gebräuchlich sind, nämlich:
Fatti sentire! -> Lass was von dir hören!
Il comportamento! -> Benimm dich/Benehmt euch bitte ordentlich!
Comportati bene! -> Bleib anständig!
Fatti vedere! -> Lass dich blicken!

Wenn also die Wendung beim Übersetzen einfach unterschlagen werden kann, weil der zugrundeliegende Gedanke in der Zielsprache nicht geläufig ist, so ist mMn. eine nur hilfsweise, metaphorische Übersetuzung wie "Bitte!" verzichtbar. Wenn man aber die Wendung unbedingt hinüberretten will, kann man auf meinen Vorschlag hier oben zurückgreifen, der den Vorteil hat, tatsächlich das zu bedeuten, was das Original auch bedeutet.

Zu "Mi raccomando! = Halt die Ohren steif!". Ich kann mir zwar den Kontext vorstellen, da einer ersteres sagt und zweiteres meint, das ist aber so ein Spezialfall dass auch nach meiner Meinung diese Eintragung nichts taugt und getröst gelöscht werden kann.