This dove/pigeon, or rather his favorite dove/pigeon, which he is letting fly ...

And here is my attempt to improve the answer given in #1:

'This dove/pigeon, or rather his fav(u)rite dove/pigeon, which/whom he allows to fly' ( ? ) . . . ;-))

Auto-Corr.: 'favo(u)rite' . . .

@Daddy: you're slipping! You didn't correct the grievous mistake made in the original (German) sentence! I'm aghast! ;-)

Das "beziehungsweise" ist totaler Unsinn in diesem Kontext!
Diese junge Taube, nämlich seine Lieblingstaube, der er zu fliegen erlaubt...
Diese junge Taube, die seine Lieblingstaube ist, der er zu fliegen erlaubt...

nein, es handelt sich hier um 2 verschiedene Tauben, aber ich kann hier ja nicht den ganzen Text abdrucken ;)
Es ginge auch nur um das bzw.. Warum habt ihr es in diesem Fall mit "or rather" übersetzt? Ist es besser als and..respectively?

@ ## 4,5: You are (both) right! - Please, forgive me! . . .

(I was, however, reluctant to find all those archived threads which deal with the superflouos way Germans deal with the word/Begriff 'beziehungsweise'/'bzw.' . . .

"respectively" funktioniert bei einer Aufzählung, doch nicht, wenn nur eine (in diesem Falle) Taube erwähtn wird. Warum bringst du nicht einfach mehr Kontext?

#6 throws a new light onto things/matters . . .

In this case, I would have expected the original to have read:

'Diese junge Taube, beziehungsweise seine Lieblingstaube, denen er zu fliegen erlaubt...' . . .

Zu "beziehungsweise" braucht es 4! Dinge.
Weiße und Farbige leben in Europa beziehungsweise Afrika. (Nicht sehr pc, aber als Beispiel tauglich)
Wenn es also zwei Tauben sind, dann:
"Diese junge Taube, und auch seine Lieblingstaube, ..."
So diese Richtung.
Und dann müßte es auch noch "Dieser .., seiner ..., der er zu fliegen erlaubt ..." heißen.