Das sagt jedenfalls LEO zum Attest

Was Subtiles! 'medical certificate' kann man schon sagen, aber mit der Bedeutung, dass man eine aerztliche Untersuchung gehabt hat - z.B. fuer eine Versicherung. Wenn man 3 Tage krank gewesen ist, heisst es besser 'doctor's cetificate' oder 'doctor's note' (meint nur damit, dass man doch krank war, und nicht dass man eine voellige Untersuchung gehabt hat - ist also nicht so ernst)

Also fuer die erste Example (fuer die Genehmigung...) wuerde 'medical certificate' gelten, aber fuer die zweite (3 Tag krank...) klingt 'doctor's note' oder 'doctor's certificate' besser

@wienfan: doctor's certificate war auch meine erste Eingebung. Als ich danach gegoogelt habe, kamen hauptsächlich Definitionan als "Krankheitsattest" (für Schule oder Arbeitgeber. Nur die Erweiterung "of health" machte die Sache dann klar.

"medical certificate" covers any certification of health or illness written by a doctor. It could correctly be used in both sentences.

"doctor's certificate" can also apply to any certificate of health, illness, to confirm that a person is taking particular medicines or has had specific vaccinations etc.
It could also be used in both sentences.

"Do I need to have a good health record to take the trip?
Yes. Students must show proof of being in good physical health before the trip (a doctor's certificate)."
http://www.fiu.edu/~ciber/faq.htm

"You do not normally need a doctor's certificate for the first seven days of illness ..."
http://www.glastonburysurgery.co.uk/sicknote.html

It is not usually necessary to add "of health" as it is clear from the context whether health or sickness is the issue.

In the above examples, Werner's suggestion to add "of health" would apply only in the first sentence.
Conversely, a "doctor's note" or "sick note" could be used only in the second sentence (as Wienfan aus London suggests) as this implies illness.

Man könnte viel darüber diskutieren wie genau diese Bezeichnung stimmt, aber in Südafrika haben wir "doctor's certificate" oder "doktersertifikaat" (in Afrikaans) verwendet.