Das ist die Kurzform von: Ich überlasse Ihnen diese Unterlagen mit der Bitte um Erledigung.

Das mag unlogisch sein, normaler Sprachgebrauch ist es trotzdem.

Die "Zugabe" ist das Übersenden der Unterlagen.

Der Absender übersendet Dir:
erstens die Unterlagen
und fügt
zweitens die Bitte bei, diese zu bearbeiten.

Du erhältst also die Unterlagen + die Bitte um Bearbeitung.
-> Unterlagen mit Bitte um Bearbeitung/Erledigung

Das ist völlig normaler Sprachgebrauch, und traditioneller Stil, an dem ich nichts auszusetzen sehe. Die Verkürzung (ohne die Einleitung "Ich übersende/übergebe Ihnen/Dir das Vorliegende...") findet sich in gleicher Weise in vielen anderen Zusammenhängen

- beim Briefschluss: "Mit freundlichen Grüßen" etc.
- bei Widmungen: "Mit dem Ausdruck vorzüglichster Hochachtung", "In Erinnerung an unvergessliche Stunden" ... (Abb. ähnl.)
- bei anderen Verwendungsinformationen für Unterlagen: "Zum Verbleib", "Zur Ihrer Information" etc.

Die ausdrückliche Benennung, worauf sich die Konjunktion (mit/in/zu..) bezieht, fehlt jeweils und doch ist im gegeben Zusammenhang unmissverständlich klar, worum es geht. Deine Assoziation, "dass es noch irgendetwas 'dazu'" geben müsse, kann ich nicht ganz nachvollziehen.

Stimme zu - völlig "normaler", d. h. gängiger und idiomatischer Sprachgebrauch ...

"Ich wende mich an dich / an Sie mit der Bitte ..."

Hier wendet man sich durch die Zusendung der Unterlagen an die entsprechende Person - eben mit der Bitte, diese zu bearbeiten.

Ich sehe das wie die anderen: Hier kommen die Unterlagen mit der Bitte um Erledigung.


#0 Harmonischer fände ich "Bitte erledigen"

Infinitive sind oft die stärksten Imperative, dessen sollte man sich bei so einer Formulierung bewusst sein, und das wird auch durch das "bitte" nur wenig abgemildert. "Bitte erledigen" wäre m.E. keineswegs harmonischer, sondern Kommandoton.

"Bitte erledigen" wäre m.E. keineswegs harmonischer, sondern Kommandoton.

Das sehe ich ganz genauso.

Der Anspruch auf besonders "harmonische" Ausdrucksweise, ließe sich m.E. nur mit persönlicher Ansprache und ausführlicheren Formulierungen einlösen. Z.B. in der Art: Lieber Adressat, ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie... / möchte Sie bitten,... So kann man zweifellos mehr Harmonie erzeugen, steht aber auch vor der Herausforderung, harmonisch-höfliche Zurückhaltung und sachlichen Erledigungsauftrag elegant zu verbinden und adäquat zu nuancieren. Dabei besteht immer das Risiko, dass der Adressat die Bitte als herrischer oder unverbindlicher wahrnimmt als beabsichtigt. Insofern kann der Gebrauch einer "fertig gestanzten" Standardformulierung (Mit der Bitte um...) harmonischer Kommunikation durchaus zuträglich sei.