Man könnte dankbar sein, dass offene Fragen geklärt wurden und man sich freut endlich die neue Aufgabe angehen zu können...

Hm, allzu unterwürfig will ich ja auch nicht klingen. Es war ja auch in deren Interesse, die offenen Fragen zu klären. Vielleicht schreibe ich einfach 'meiner Tätigkeit ... sehe ich mit Freude entgegen'. Das ist zwar sehr formal, aber warum nicht. Ist ja auch ein sehr formales Anstellungsverfahren.

'meiner Tätigkeit ... sehe ich mit Freude entgegen'

Ich weiß nicht, das klingt wie aus dem vorletzten Jahrhundert. Das würde ich allerhöchstens bei der letzten verbliebenen Privatbank Deutschlands machen, die sich rühmt schon seit 1687 Bank zu sein und bei deren Briefpapier man den Moder fast schon schmecken kann ;-)

Edit (ohne das oben gesagte wegmachen zu wollen): Es könnte auch sein, dass es eine 1:1 Übersetzung des englischen "looking forward to" ist und deshalb etwas ungewöhnlich in mir klingt.

Auf der anderen Seite, mach Dir doch nicht so den Kopf und schreib doch 2x "ich freu mich". Oder, z.B. in einer E-Mail:
"Sehr g. Herr/Frau, ich bin froh, dass wir die noch offenen Fragen so zügig klären konnten.....
Ich freue mich bereits auf die Zusammenarbeit in Ihrem Team."

Nur um das nicht so in der Luft hängen zu lassen - hab mich dann doch für zwei "ich freue mich" entschieden... Irgendwie wars mir dann doch egal. Letztendlich hätte ich ja auch einfach 'Ja.' schreiben können und es hätte auch reichen müssen ;) War aber wirklich sehr formell - Berufungsverfahren an der Uni... vorletztes Jahrhundert passt da schon ;)

Auch wenn es ohnehin nicht mehr für den Brief relevant ist:

Bin mir nicht ganz sicher, aber "ich bin froh" würde ich im genannten Beispiel lieber vermeiden. Das hört sich für mich irgendwie so an wie: "Gott sein Dank ist diese nervige Sache jetzt erledigt!" , hat also einen Beigeschmack von "vorher war/andernfalls wäre ich unfroh über den Zustand", woraus man Kritik an der anderen Seite entnehmen könnte.

"Ich bin froh" passt daher eher in Situationen wie: "Ich bin froh, dass es dir inzwischen besser geht!" Da ist es ohne Zweifel angemessen, vorher nicht froh über den (Gesundheits-)Zustand gewesen zu sein. ("Ich freue mich" würde hier aber natürlich ebenfalls passen.)