Das ergibt absolut keinen Sinn.
Vorschläge:
nach Luft ringen
um den dritten Platz ringen

Wenn es sich allerdings um Werbung handelt, ist alles möglich.

Nadja:
Dessen wäre ich mir nicht so sicher. Man findet im Web jedenfalls einige Stellen, die zeigen, dass es durchaus einen Sinn für diesen Ausdruck geben kann - den ich allerdings auch noch nicht kenne. Es scheint so, dass die "dritte Luft" etwas damit zu tun hat, dass man eine neue / eine weitere Chance bekommt, z.B. im Sport oder in der Politik.

Websites: (Google-Suchwörter "dritte Luft" -ransmayr)
http://www.a-site.at/cgi-bin/bbs/seele.pl?rea... Direkter Hinweis auf einen esoterischen Bezug (Swedenborg!)
http://morgenpost.berlin1.de/archiv2003/03030... Bayrisch-derb gegen Schröder mit Originalzitat Stoiber
http://www.merkur-online.de/nachrichten/sport... Der Münchner Merkur über TVS 1860 München, auch kein Käseblatt
http://www.merkur-online.de/nachrichten/sport... Alle, auch die Radfahrer wissen, was mit der zweiten und dritten Luft ist, nur wir nicht!
http://www.merkur-online.de/nachrichten/sport... Bei den Seglern habe ich per E-Mail mal nachgefragt. Ich nehme nicht an, dass es der dritte Windstoß an diesem Nachmittag war.
http://www.tv-ennigerloh.de/Zeitungsberichte/... Auch Albert Lohmann von der "Glocke" kennt sie, die dritte Luft
http://www.presse.mproject.de/keo/cont/keo_hi... Okay, das ist etwas anderes, sorry :-) .
http://www.presse.mproject.de/keo/cont/keo_hi... Ja,ja, vielleicht haben Sie die dritte Luft ...

Doch still, mich dünkt, ich wittre Morgenluft ... Etwa im Dritten Akt? Ich fürchte, auch das führt zu nichts.

Im Ernst: Ich habe jetzt nochmal nach "zweite Luft" (hunderte von brauchbaren Fundstellen) und "vierte Luft" (nur eine brauchbare Fundstelle) gesucht. Der Ausdruck heißt wohl:
"die zweite / dritte / vierte Luft bekommen" und bedeutet anscheinend: "eine weitere / eine letzte / eine allerletzte Chance bekommen".

"Um die dritte Luft ringen" scheint danach zu bedeuten, "darum ringen, eine letzte Chance zu bekommen" oder kurz: "um eine letzte Chance ringen".

AndreasS: Sehr, sehr eigenartig!

It was once said that a drowning man came up above water three times before drowning. From this there came a saying 'coming up for the third time' meaning this was a last hope, a last chance. Um die dritte Luft ringen = to struggle for the third breath (if I translate correctly)seems to give a similar picture.
Still it's just a guess.

Leider habe ich oben ein paar URLs falsch kopiert. Sie sind aber leicht zu finden.

Die "zweite Luft" scheint allen Ausdauersportlern bekannt zu sein und wird von diesen gern als Metapher genommen. Die Erklärung für den Ursprung dieses Ausdrucks findet sich hier:
http://www.erz.uni-hannover.de/ifsw/daten/lit...

Nadja: There are more things in heaven and earth, Horatio ...

AndreasS: ...Than are dreamt of in your philosophy.

Though this be madness, yet there is method in 't