Is what I would use

in my name

bestätige "in my name" - oder "in the name of"

'The reservation is under my name'

'I have a reservation under Hartmann'

Hm ... Ich würde einen Tisch immer AUF den Namen Raudona bestellen. So wird man auch am Telefon gefragt: "Ich möchte einen Tisch bestellen." - "Auf welchen Namen?"

UNTER dem Namen heißt für mich: Es gibt mehrere Namen. Also z.B. "Raudona, besser bekannt unter dem Namen LEO-Suchti".

Mich würden aber zur ursprünglichen Anfrage noch die Meinungen weiterer ENS interessieren - Spike hat für BE ja bereits "in my name" bestätigt. (Bei "in the name of" muss ich an "Stop in the name of love" denken ...)

In BE, I would definitely say 'under my name'.

'In my name' suggests to me enthusiastic supporters of a revolutionary who carry out acts of heroism in his name.