A very large proportion of the people using this phrase will have no clue that it is from Shakespeare.
Ich hätte es genau andersrum erwartet - dass alles, was irgendwie altmodisch klingt, automatisch Shakespeare zugeschrieben wird, ein paar Jahrhunderte hin oder her. Denn das 'doth/ dost' kein 'normales' Englisch ist, wissen doch auch Leute, die nie Bücher lesen, oder?
Oder meinst du die modernisierte Form, "the lady does protest too much"? Das kann ich nachvollziehen. Ich finde auch öfter mal heraus, dass eine Wendung von Goethe oder Luther oder wem ist und ich das nicht wusste.