Gute Frage. Ich würde tippen, dass der erste Name ausreicht.

An die jenigen, die es besser wissen. Kann es sein, dass da ein gewisse künstlerische Freiheit besteht?
So heißt der Regierungschef ja Rodríguez Zapatero, nennt sich aber Zapatero. Ich denke mal, weil der Name nicht so häufig ist.

Üblicherweise wird nur der erste Nachname im täglichen Gebrauch verwendet. Manchmal wird sogar schriftlich der zweite Nachname mit dem Anfangsbuchstaben abgekürzt.

In Briefen bitte nur den ersten Nachnamen nehmen.

Bei offiziellen Dokumenten, wie Zeugnisse, Hochzeitseinladungen, Rechnungen, notarielle Urkunden, etc. werden selbstveständlich beide Nachnamen aufgeführt.

wir verwenden auch nur einen Name in der Anrede, und zwar den, den der Angeschriebene selbst verwendet, mal den ersten, mal den zweiten, bei Erstkontakten nur den ersten Nachnamen
in der Adresse nehmen wir beide, wenn bekannt, (bei E-Mail-Kontakten nehmen wir meist nur den Vornamen)

Nach kurzem Überlegen: In Spanien wird sowohl der erster als auch beide Nachnamen in der Anrede.
Alternativ: Muy Sr. Nuestro, Estimado cliente , etc.

@Schuster
Zapatero wird so (von Anderen) genannt, weil er sich immer Rodríguez Zapatero genannt hat (und Rodríguez sehr häufig vorkommt)

Hola, vivo en España, pero vengo de Chile. Aquí me he dado cuenta de la costumbre de nombrar a una persona por su segundo apellido cuando el apellido paterno es muy común, como en el caso de Zapatero. En Latinoamérica es más normal en estos casos poner los dos apellidos (por ejemplo Vargas Llosa o García Márquez y no Vargas o García (o Llosa o Márquez)). En España se dice por ejemplo "la poesía lorquiana" por García Lorca.